ILMU DAN MATEMATIKA
PENDAHULUAN
Dalam
filsafat ilmu pengetahuan mempelajari esensi atau hakikat ilmu pengetahuan
tertentu secara rasional. Filsafat ilmu pengetahuan merupakan cabang filsafat
yang mempelajari teori pembagian ilmu, metode yang digunakan dalam ilmu,
tentang dasar kepastian dan jenis keterangan yang berkaitan dengan kebenaran
ilmu tertentu.
Filsafat
ilmu pengetahuan merupakan salah satu cabang yang mempersoalkan mengenai
masalah hakikat pengetahuan. Yang dimaksud dalam hal ini adalah suatu ilmu
pengetahuan kefilsafatan yang secara khusus hendak memperoleh pengetahuan
tentang hakikat pengetahuan.
Dalam
filsafat ilmu dipelajari mengenai ilmu dan matematika. Ilmu tanpa
matematika tidak berkembang, matematika tanpa ilmu tak ada keteraturan.
Dengan
pengetahuan manusia dapat mengembangkan mengatasi kelangsungan hidupnya,
memikirkan hal-hal yang baru dan menjadikan manusia sebagai makhluk yang khas
di muka bumi ini.
Dalam
tulisan ini hanya di paparkan pengertian ilmu, pengertian
matematika, hubungan antara ilmu dan matematika. Ilmu dapat dipandang
sebagai produk,sebagai proses dan sebagai paradigma ethika.Ia berusaha memahami
alam sebagaimana adanya.
A.
PENGERTIAN ILMU
Ilmu berasal
dari bahasa Arab: ‘alima, ya‘lamu, ‘ilman yang berarti mengerti, memahami
benar-benar. Dalam bahasa Inggris ilmu disebut science dan bahasa latin scientia(pengetahuan).
Dalam kamus besar bahasa Indonesia Ilmu diartikan sebagai pengetahuan tentang
suatu bidang yang disusun secara bersistem menurut metode-metode tertentu, yang
dapat digunakan untuk menerangkan gejala-gejala tertentu dibidang pengetahuan
itu.
Ada orang
yang menamakannya ilmu, ada yang menamakannya ilmu pengetahuan, dan ada pula
yang menyebutnya saint. Keberagaman istilah tersebut adalah suatu usaha untuk
melahirkan padanan (meng-Indonesiakan) kata science yang asalnya dari bahasa
Inggris.
Dari segi
maknanya, pengertian ilmu sepanjang yang dibaca dalam pustaka menunjukkan pada
sekurang-kurangnya tiga hal: pengetahuan, aktivitas dan metode. Dalam hal yang
pertama dan ini yang terumum, Ilmu senantiasa berarti pengetahuan. Diantara
fara filsuf dari berbagai aliran terdapat pemahaman umum bahwa ilmu adalah
suatu kumpulan yang sistimatis dari pengetahuan yang dihimpun dengan
perantaraan metode ilmiah.
Pengetahuan
sesungguhnya hanyalah hasil atau produk dari suatu kegiatan yang dilakukan oleh
manusia. Dengan demikian dapatlah dipahami bilamana ada makna tambahan dari
ilmu sebagai aktivitas( atau suatu proses yakni serangkaian aktivitas yang
dilakukan oleh manusia). Menurut Prof Harold H Titus, banyak orang telah
mempergunakan istilah ilmu untuk menyebut suatu metode guna memperoleh
pengetahuan yang objective dan dapat diperiksa kebenarannya.
Pengertian
ilmu sebagai pengetahuan, aktivitas atau metode itu bila ditinjau lebih
mendalam sesungguhnya tidak saling bertentangan. Bahkan sebaliknya, ketiga hal
itu merupakan kesatuan logis yang mesti ada secara berurutan. Ilmu harus
diusahakan dengan aktivitas manusia, aktivitas itu harus dilaksanakan dengan
metode tertentu dan aktivitas itu menghasilkan pengetahuan yang sistimatis.
B.
PERKEMBANGAN ILMU
Ditinjau
dari perkembangannya maka ilmu dibagi dalam tiga tahap yakni:
1. Tahap
sistematis
Pada tahap
ini ilmu mulai menggolong-golongkan objek empiris kedalam kategori-kategori tertentu
yang memungkinkan kita untuk menemukan ciri-ciri yang bersifat umum dari
angggota-anggota yang menjadi kelompok tertentu. Ini merupakan pengetahuan
manusia mengenali dunia fisik.
2. Tahap
komparatif
Pada tahap
ini ilmu mulai mencari hubungan yang didasarkan pada perbandingan antara
berbagai objek yang kita kaji.
3. Tahap
Kuantitatif
Pada tahap
ini ilmu mencari hubungan sebab akibat berdasarkan pengukuran yang eksak dari
objek yang kita selidiki.
C.
PENGERTIAN MATEMATIKA
Matematika
diambil dari bahasa Yunani, μαθηματικά – mathēmatiká)
Perkataan itu mempunyai akar kata mathema yang berarti pengetahuan atau ilmu
(knowledge,science), secara umum ditegaskan sebagai penelitian pola dari
struktur, perubahan,dan ruang: tak lebih resmi, seorang mungkin mengatakan
adalah penelitian bilangan dan angka. Dalam pandangan formalis, matematika
adalah pemeriksaan aksioma yang menegaskan struktur abstrak menggunakan logika
simbolik dan notasi matematika; pandangan lain tergambar dalam filosofi
matematika.
Beberapa
aliran dalam filsafat matematika:
- Aliran Logistik
-
Pelopornya : Immanuel Kant (1724 – 1804)
-
Berpendapat bahwa matematika merupakan cara logis (logistik) yang salah atau
benarnya dapat ditentukan tanpa mempelajari dunia empiris.
-
Matematika murni merupakan cabang dari logika, konsep matematika dapat di
reduksikan menjadi konsep logika.
- Aliran Intuisionis
-
Pelopornya : Jan Brouwer (1881 – 1966)
-
Berpendapat bahwa matematika itu bersifat intusionis
-
Intuisi murni dari berhitung merupakan titik tolak tentang matematika bilangan.
Hakekat sebuah bilangan harus dapat dibentuk melalui kegiatan intuitif dalam
berhitung dan menghitung.
- Aliran Formalis
-
Pelopornya : David Hilbert (1862 – 1943)
-
Berpendapat bahwa matematika merupakan pengetahuan tentang struktur formal dari
lambang . Kaum formalis menekankan pada aspek formal dari matematika sebagai
bahasa lambang dan mengusahakan konsistensi dalam penggunaan matematika sebagai
bahasa lambang.
- Kaum
Formalis membantah aliran logistik dan menyatakan bahwa masalah-masalah dalam
logika sama sekali tidak ada hubungan dengan matematika
Matematika
adalah cara/ metode berpikir dan bernalar. Matematika adalah cara berpikir yang
digunakan untuk memecahkan semua jenis persoalan. Matematika bila ditinjau dari
segi epistemology ilmu bukanlah ilmu. Ia lebih merupakan artificial yang
bersifat eksak, cermat dan terbebas dari rona emosi. Matematika adalah logika
yang telah berkembang, yang memberikan sifat kuantitatif kepada pengetahuan
keilmuan.Matematika merupakan sarana berfikir deduktif yang amat berguna untuk
membangun teori keilmuan dan menurunkan prediksi-prediksi daripadanya, dan
untuk mengkomunikasikan hasil-hasil kegiatan keilmuan dengan benar dan jelas
dan secara singkat dan jelas. Matematika adalah bahasa yang melambangkan
serangkaian makna dari pernyataan yang ingin kita sampaikan. Lambang-lambang
matematika mempunyai “artificial” yang baru mempunyai arti setelah sebuah makna
diberikan padanya.
D. HAKEKAT
MATEMATIKA
1.
Matematika sebagai sarana berpikir deduktif
Matematika
dikenal dengan ilmu deduktif. Ini berarti proses pengerjaan matematika harus
bersifat deduktif. Matematika tidak menerima generalisasi berdasarkan
pengamatan( induktif), tetapi harus berdasarkan pembuktian deduktif. Meskipun
demikian untuk membantu pemikiran pada tahap-tahap permulaan seringkali kita
memerlukan bantuan contoh-contoh khusus atau ilustrasi geometris.
Perlu pula
diketahui bahwa baik isi maupun metode mencarikebenaran dalam matematika
berbeda dengan ilmu pengetahuan alam, apalagi dengan ilmu pengetahuan umum.
Metode mencari kebenaran yang dipakai oleh matematika adalah ilmu deduktif,
sedangkan oleh ilmu pengetahuan alam adalah metode induktif atau eksperimen.
Namun dalam matematika mencari kebenaran itu bisa dimulai dengan cara induktif,
tetapi seterusnya generalisasi yang benar untuk semua keadaan harus bisa
dibuktikan secara deduktif. Dalam matematika suatu generalisasi, sifat, teori
atau dalil itu belum dapat diterima kebenarannya sebelum dapat dibuktikan
secara deduktif.Sebagai contoh, dalam ilmu biologi berdasarkan pada pengamatan,
dari beberapa binatang menyusui ternyata selalu melahirkan. Sehingga kita bisa
membuat generalisasi secara induktif bahwa setiap binatang menyusui adalah
melahirkan.
Generalisasi
yang dibenarkan dalam matematika adalah generalisasi yang telah dapat
dibuktikan secara deduktif. Contoh: untuk pembuktian jumlah dua bilangan ganjil
adalah bilangan genap. Pembuktian secara deduktif sebagai berikut: andaikan m
dan n sembarang dua bilangan bulat maka 2m+ 1 dan 2n+1 tentunya masing-masing
merupakan bilangan ganjil. Jika kita jumlahkan (2m+1) + (2n+1) = 2(m+n+1).
Karena m dan n bilangan bulat maka (m+n+1) bilangan bulat, sehingga
2(m+n+1) adalah bilangan genap. Jadi jumlah dua bilangan ganjil selalu genap.
2.
Matematika bersifat terstruktur
Menurut
Ruseffendi(Tim MKPBM,2001;25) matematika mempelajari tentang pola keteraturan,
tentang struktur yang terorganisasikan. Hal ini dimulai dari unsure-unsur yang
tidak terdefinisikan kemudian pada unsure yang didefinisikan, ke
aksioma/postulat dan akhirnya pada teorema. Konsep-konsep matematika tersusun
secara hierarkis, terstruktur,logis, dan sistematis mulai dari konsep yang
paling sederhana sampai pada konsep yang paling kompleks.
Dalam
matematika terdapat topik atau konsep prasyarat sebagai dasar untuk memahami
topik atau konsep selanjutnya. Ibaratmembangun rumah, maka fondasi harus kokoh.
Contohnya konsep bilangan genap. Bilangan genap adalah bilangan bulat yang
habis dibagi dua. Sebelum membahas blangan genap, siswa harus memahami dulu
konsep bilangan bulat dan pengertian habis dibagi dua sebagai konsep prasyarat.
Dari
unsur-unsur yang tidak terdefinisi itu selanjutnya dapat dibentuk unsure-unsur
matematika yang terdefinisi. Misalnya segitiga adalah lengkungan tertutup
sederhana yang merupakan gabungan dari tiga buah segmen garis.
Dari
unsur-unsur yang tidak terdefinisi dan unsure-unsur yang terdefinisi dapat
dibuat asumsi-asumsi yang dikenal dengan aksioma atau postulat. Misalnya:
melalui sebuah titik sembarang hanya dapat dibuat sebuah garis kesuatu
titik yang lain.
Tahap
selanjutnya dari unsure-unsur yang tidak terdefiisi , unsure-unsur yang
terdefinsi , dan aksioma atau postulat dapat disusun teorema-teorema yang
kebenarannya harus dibuktikan secara deduktif dan berlaku umum. Misalnya:
jumlah ukuran ketiga sudut dalam sebuah segitiga adalah 180 derajat.
3.
Matematika sebagai Ratu dan Pelayan Ilmu
Matematika
sebagai ratu atau ibunya ilmu dimaksudkan bahwa matematika adalah sebagai
sumber dari ilmu yang lain dan pada perkembangannya tidak tergantung pada ilmu
lain. Dengan kata lain, banyak ilmu-ilmu yang penemuan dan pengembangannya
bergantung dari matematika. Sebagai contoh: banyak teori-teori dan
cabang-cabang dari fisika dan kimia yang ditemukan dan dikembangkan melalui
konsep kalkulus. Teori mendel pada Biologi melalui konsep pada probabilitas.
Teori ekonomi melalui konsep fungsi dan sebagainya.
Dari
kedudukan matematika sebagai ratu ilmu pengetahuan matemaika selain tumbuh dan
berkembang untuk dirinya sendiri juga untuk melayani kebutuhan ilmu pengetahuan
lainnya dalam pengembangan dan operasinya. Cabang matematika yang memenuhi
fungsinya seperti yang disebutkan terakhir itu dinamakan dengan matematika
Terapan(Applied Mathematic)
4.
Matematika sebagai bahasa
Matematika
adalah bahasa yang melambangkan serangkaian makna dari pernyataan yang ingin
kita sampaikan. Lambang-lambang matematika baru mempunyai arti setelah sebuah
makna diberikan padanya. Tanpa itu maka matematika hanyalah merupakan kumpulan
unsur-unsur yang mati.
Bahasa
verbal mempunyai beberapa kekurangan yang sangat mengganggu karena terkadang
mempunyai lebih dari satu arti. Untuk mengatasi kekurangan yang terdapat pada
bahasa maka kita berpaling pada matematika. Dalam hal ini dapat kita katakan
bahwa matematika adalah bahasa yang berusaha untuk menghilangkan sifat kabur,
majemuk, danemosional dari bahasa verbal. Lambang-lambang darimatematika dibuat
secara ”artifisial” yakni baru mempunyai arti setelah sebuah makna
diberikan. Dan bersifat individual yaitu berlaku khusus untuk masalahyang
sedang kita kaji.
5.
Matematika bersifat kuantitatif
Dengan
bahasa verbal kita bisa membandingkan dua objek yang berlainan umpamanya
gajah dan semut, maka kita hanya bisa mengatakan gajah lebih besar daripada
semut, kalau ingin menelusuri lebih lanjut berapa besar gajah dibandingkan
dengan semut, maka kita mengalami kesulitan dalam mengemukakan hubungan itu,
bila ingin mengetahui secara eksak berapa besar gajah bila dibandingkan dengan
semut, maka dengan bahasa verbal tidak dapat mengatakan apa-apa.
Matematika
mengembangkan konsep pengukuran, lewat pengukuran dapat mengetahui dengan tepat
berapa panjang. Bahasa verbal hanya mampu mengemukakan pernyataan yang bersifat
kualitatif. Kita mengetahui bahwa sebatang logam bila dipanaskan akan
memanjang, tetapi tidak bisa mengatakan berapa besar pertambahan panjang
logamnya.
Untuk itu
matematika mengembangkan konsep pengukuran, lewat pengukuran , maka kita dapat
mengetahui dengan tepat berapa panjang sebatang logam dan berapa pertambahannya
bila dipanaskan, Dengan mengetahui hal ini maka pernyataan ilmiah yang berupa
pernyataan kualitatif seperti sebatang logam bila dipanaskan akan memanjang,
dpat diganti dengan pernyataan matematika yang lebih eksak umpamanya: P1 = Po
(1 + n), dimana P1 adalah panjang logam pada temperatur t, Po merupakan panjang
logam pada temperatur nol dan n merupakan koefisien pemuai logam tersebut.
E.
KARAKTERISTIK MATEMATIKA
- 1. Memiliki obyek yang abstrak
Obyek dasar
matematika adalah abstrak dan disebut obyek mental, obyek pikiran yaitu :
a. Fakta
Berupa
konvensi-konvensi yang di ungkap dengan simbol tertentu.
Contoh :
- ”2” dipahami sebagai bilangan
”doa”
- ”5-2” dipahami sebagai ”lima
kurang dua”
- ”//” bermakna ”sejajar” dan
lain-lain
b. Konsep
Konsep
adalah ide abstrak yang dapat digunakan untuk menggolongkan sejumlah obyek.
Apakah obyek tertentu merupakan konsep atau bukan.
c. Operasi
- Operasi
adalah pengerjaan hitung, pengerjaan aljabar, dan pengerjaan matematika yang
lain.
- Operasi
adalah suatu relasi khusus karena operasi adalah aturan untuk memperoleh elemen
tunggal dari satu atau lebih elemen yang diketahui
-
Operasi unair, operasi biner dll
d. Prinsip
- Prinsip
adalah obyek matemática yang komplek. Prinsip dapat terdiri dari beberapa
fakta, beberapa konsep, yang dikaitkan oleh suatu relasi / operasi
- Prinsip
adalah hubungan antara berbagai obyek dasar matemática. Prinsip dapat berupa
axioma , teorema, sifat dll
- Skill
adalah Prosegur atau suatu kumpulan aturan-aturan yang digunakan untuk
menyelesaikan soal matemática
2. Bertumpu
pada kesepakatan
Kesepakatan
yang amat mendasar adalah axioma dan konsep primitif . Aksioma disebut juga
postulat adalah pernyataan pangkal yang tidak perlu di buktikan . Konsep
primitif disebut juga undefined term adalah pengertian pangkal yang tidak perlu
di definisikan.
3. Berpola
pikir deduktif
Kebenaran
suatu konsep atau pernyataan yang diperoleh sebagai akibat logis dari kebenaran
sebelumnya sehingga kaitan Antar konsep atau pernyataan dalam matemática
bersifat consisten. Proses pembuktian secara deduktif akan melibatkan teori
atau rumus matemática lainnya yang sebelumnya sudad di buktikan kebenarannya
secara deduktif juga.
4. Memiliki
simbol yang kosong dari arti
Contoh :
Model persamaan ”x+y=z” belum tentu bermakna bilangan, makna huruf atau tanda
itu tergantung dari permasalahan yang mengakibatkan terbentuknya model itu.
5.
Memperhatikan semesta pembicaraan
Bila semesta
pembicaraannya adalah bilangan maka simbol-simbol diarikan bilangan.
contohnya:
jika kita bicara di ruang lingkup vektor a+vektor b =vektor c maka huruf-huruf
yang digunakan bukan berarti bilangan tetapi harus di artikan sebagai vektor
6. Konsisten
dalam sistemnya
Dalam
matematika terdapat banyak sistem. Satu dengan yang lain bisa saling berkaitan
tetapi juga bisa saling lepas. Sistem-sistem aljabar : sistem aksioma dari grup
, sistem aksioma dari ring , sistem aksioma dari field, dsb. Sistem-sistem
geometri : sistem geometri netral, sistem geometri Euclides , sistem geometri
non Euclides . Di dalam masing-masing sistem dan struktur itu terdapat
KONSISTENSI.
- F. PERBEDAAN MATEMATIKA DAN
ILMU
Perbedaan
matematika dan ilmu adalah:
-
Pembuktian pada matematika tidak di dapat dengan pembuktian empiris melainkan
penalaran deduktif
-
Pembuktian pada ilmu pengetahuan di dapat melalui pembuktian secara
empiris.
G. HUBUNGAN
ILMU DAN MATEMATIKA
Matematika
sangat penting bagi keilmuan, terutama dalam peran yang dimainkannya dalam
mengekspresikan model ilmiah. Mengamati dan mengumpulkan hasil-hasil
pengukuran, sebagaimana membuat hipotesis dan dugaan, pasti membutuhkan model
dan eksploitasi matematis. Cabang matematika yang sering dipakai dalam keilmuan
di antaranya kalkulus dan statistika, meskipun sebenarnya semua cabang
matematika mempunyai penerapannya, bahkan bidang “murni” seperti teori bilangan dan topologi. Tanpa matematika maka pengetahuan
akan berhenti pada tahap kualitatif yang tidak memungkinkan untuk
meningkatkan penalaran lebih jauh. Oleh karena maka dapat dikatakan bahwa ilmu
tanpa matematika tidak berkembang.
Beberapa
orang pemikir memandang matematikawan sebagai ilmuwan, dengan anggapan bahwa
pembuktian-pembuktian matematis setara dengan percobaan. Sebagian yang lainnya
tidak menganggap matematika sebagai ilmu, sebab tidak memerlukan uji-uji
eksperimental pada teori dan hipotesisnya. Namun, dibalik kedua anggapan itu,
kenyataan pentingnya matematika sebagai alat yang sangat berguna untuk
menggambarkan/menjelaskan alam semesta telah menjadi isu utama bagi filsafat
matematika
KESIMPULAN
- Matematika mengakibatkan ilmu
mengalami perkembangan dari tahap kualitatif ke kuantitatif.
- Fungsi matematika menjadi
sangat penting dalam perkembangan berbagai ilmu pengetahuan
- Matematika merupakan ilmu
deduktif.